rumus lingkaran

Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari. Sifat lingkaran yaitu memiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak terhingga jumlahnya.
Berikut ini gambar lingkaran :

Rumus Luas lingkaran

Rumus Keliling Lingkaran

Rumus mencari Diameter Lingkaran

Rumus Lingkaran menjadi salah satu referensi rumus dalam bidang datar, bagi yang sedang mencari rumus trigonometri dapat anda baca pada artikel Fungsi Trigonometri.

lingkaran luar dab dalam segitiga

LINGKARAN LUAR DAN DALAM SEGITIGA

Posted on October 16, 2013 by indritewe

Standard

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga.

Bagaimana cara menentukan titik pusat dari lingkaran luar segitiga? Titik pusat lingkaran luar segitiga merupakan perpotongan dari garis sumbu masing-masing sisi segitiga tersebut.

• Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Untuk melukis lingkaran luar segitiga kita membutuhkan jangka. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1. Lukislah garis sumbu dari salah satu sisi segitiga. Garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus dan membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama panjang.
2. Lukis garis sumbu pada sisi lain segitiga. Garis sumbu kedua ini akan memotong garis sumbu yang dihasilkan pada langkah 1.
   
3. Titik potong kedua garis sumbu merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiga. Aturlah jangka sedemikian sehingga pusatnya ada di titik pusat lingkaran luar dan bagian lainnya pada salah satu titik sudut segitiga. Kemudian dengan pengaturan seperti itu buatlah lingkaran penuh.

Lingkaran yang dihasilkan pada langkah-langkah di atas merupakan lingkaran luar dari segitiga yang diberikan. Untuk lebih memahami dalam melukis lingkaran luar segitiga, perhatikan ilustrasi berikut.

Setelah kita dapat melukis lingkaran luar segitiga, selanjutnya kita akan menentukan jari-jari dari lingkaran tersebut.

• Menentukan Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Untuk menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga, kita harus mengetahui panjang dari semua sisi segitiga tersebut. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga ABC, dan t adalah tinggi dari segitiga tersebut.

Pertama, lukislah ruas garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan titik pusat lingkaran. Misalkan ruas garis tersebut adalah ruas garis BD. Selanjutnya dari ujung ruas garis tersebut yang bukan titik sudut segitiga, yaitu titik B, tariklah ruas garis ke titik sudut segitiga yang lain. Misalkan kita tarik ruas garis dari titik B ke titik sudut A, sehingga terbentuk ruas garis AD.
Sudut-sudut ADB dan ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga kedua sudut tersebut kongruen. Sedangkan sudut BAD menghadap diameter, sehingga sudut tersebut memiliki besar 90° atau merupakan sudut siku-siku. Dengan menggunakan prinsip sudut, sudut (sd, sd), kita dapat memperoleh bahwa segitiga BAD sebangun dengan segitiga BEC. Sehingga dengan menggunakan aturan kesebangunan,

Perhatikan bahwa luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan menggunakan rumus L = (b ∙ t)/2. Atau dengan kata lain, t = 2L/b. Sehingga,

Apabila segitiga diketahui panjang ketiga sisinya, maka kita dapat menentukan luas segitiga tersebut dengan rumus, L = √[s ∙ (s – a)(s – b)(s – c)], dengan s adalah setengah dari keliling segitiga, s = (a + b + c)/2. Sehingga,

• Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung semua sisi dari suatu segitiga. Sehingga sisi-sisi segitiga tersebut tegak lurus dengan jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran O adalah lingkaran dalam dari segitiga ABC. Sekarang perhatikan bahwa EO = DO dan OA = OA, sehingga segitiga AEO dan segitiga ADO merupakan segitiga-segitiga yang kongruen. Sehingga sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu sudut OAE dan sudut OAD sama besar. Oleh karena itu, garis AO merupakan garis bagi sudut DAE.
Dari uraian di atas, titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan perpotongan dari garis-garis bagi dari semua sudut segitiga tersebut. Berikut ini langkah-langkah dalam melukis lingkaran dalam segitiga.

1. Lukislah garis bagi dari dua sudut dalam segitiga. Titik perpotongan garis-garis bagi tersebut merupakan titik pusat dari lingkaran dalam segitiga tersebut.
2. Dari titik pusat tersebut, buatlah garis yang tegak lurus dengan salah satu sisi segitiga.
   
3. Dan selanjutnya, lukislah lingkaran yang berpusat di titik yang diperoleh pada langkah 1 dan melalui titik perpotongan antara garis yang diperoleh pada poin 2 dan sisi segitiga yang tegak lurus dengan garis tersebut.

Agar lebih memahami dalam melukis lingkaran dalam segitiga, perhatikan ilustrasi berikut ini.

• Menentukan Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. Sifat dari lingkaran dalam segitiga adalah bahwa lingkaran tersebut memotong masing-masing sisi segitiga tepat pada satu titik potong.

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah berlatih untuk melukis lingkaran dalam dari suatu segitiga. Lalu, bagaimana kita dapat menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan permasalahan mengenai lingkaran dalam segitiga berikut :

Pak Hasan membangun tokonya tepat di tengah-tengah 3 jalan yang membentuk segitiga, sehingga jarak antara toko tersebut dengan ketiga jalan yang mengelilinginya adalah sama. Panjang ketiga jalan yang mengelilingi toko Pak Hasan tersebut secara berturut-turut adalah 500 meter, 600 meter, dan 800 meter.

Dari permasalahan di atas, dapatkah kita menentukan jarak antara toko Pak Hasan dengan ketiga jalan yang mengelilinginya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan bahwa toko Pak Hasan memiliki jarak yang sama dengan ketiga jalan yang mengelilinginya. Kita dapat menduga bahwa toko Pak Hasan merupakan titik pusat dari lingkaran yang memotong ketiga jalan tersebut tepat di satu titik. Atau dengan kata lain, toko Pak Hasan merupakan titik pusat dari lingkaran dalam segitiga yang dibentuk oleh ketiga jalan yang mengelilinginya. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Untuk menentukan jarak antara toko Pak Hasan dengan ketiga jalan yang mengelilinginya, sama saja dengan menentukan jari-jari lingkaran dalam yang terlihat pada gambar di atas.

1. Menemukan Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga

Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut, perhatikan gambar berikut.

Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara. Cara pertama dengan menggunakan rumus.
L = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] dengan s adalah setengah keliling segitiga atau s = (a + b + c)/2. cara kedua adalah dengan menjumlahkan daerah warna orange, hijau, dan biru. Luas daerah warna orange adalah (a × r)/2, luas daerah warna hijau adalah (b × r)/2, sedangkan luas daerah warna biru adalah (c × r)/2. Sehingga,

Sehingga, untuk sembarang segitiga yang memiliki panjang sisi a, b, dan c, serta s adalah setengah dari kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalamnya dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan rumus di atas, kita dapat menentukan jarak antara toko Pak Hasan dengan ketiga jalan yang mengelilinginya. Karena panjang ketiga jalan yang mengelilinginya secara berturut-turut adalah 500 meter, 600 meter dan 800 meter, maka s = (500 + 600 + 800)/2 = 950. Sehingga jaraknya dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, jarak antara toko Pak Hasan dengan ketiga jalan yang mengelilinginya adalah 157,7 meter. Seperti itulah cara untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga
Semoga bermanfaat, Indri Jamelah

Sumber :
http://yos3prens.wordpress.com/2013/07/17/lingkaran-luar-segitiga/
http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/10/melukis-lingkaran-dalam-segitiga/
http://yos3prens.wordpress.com/2013/07/20/menentukan-jari-jari-lingkaran-dalam-segitiga/

lingkaran luar segitiga

LINGKARAN LUAR SEGITIGA
Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.
Langkah – langkah melukis lingkaran luar segitiga

1. Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian,
2. Lukislah garis sumbu PQ.
3. Lukislah garis sumbu QR.
4. Lukislah garis sumbu RP.
5. Hubungkan ketiga garis sumbu tersebut di titik O.
6. Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari – jari OP
7. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ∆PQR

Keterangan :
r          = panjang jari – jari lingkaran luar
a, b, c = panjang sisi – sisi segitiga
L          = luas segitiga
s          = setengah keliling segitiga
LINGKARAN DALAM SEGITIGA
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.
Langkah – langkah melukis lingkaran dalam segitiga

1. Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi ∠P.
2.  Lukislah garis bagi ∠Q sehingga memotong garis bagi ∠P di titik O.
3. Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PR.
4. Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.

Keterangan :
r          = panjang jari – jari lingkaran dalam segitiga
a, b, c = panjang sisi – sisi segitiga
L          = luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya
s          = setengah keliling segitiga  = ½(a + b + c)

Pengertian Lingkaran
Definisi lingkaran adalah bidang yang dibentuk oleh kumpulan semua titik dalam satu bidang yang memiliki jarak yang sama dengan suatu titik pusat.

Radius dan Diameter Suatu Lingkaran
Dimensi suatu lingkaran dinyatakan dalam besaran radius atau diameter. Radius atau jari-jari suatu lingkaran adalah jarak antara titik tengah lingkaran dengan busur lingkaran. Diameter atau garis tengah suatu lingkaran adalah jarak antara dua titik pada busur lingkaran yang membentuk garis lurus melewati titik pusat lingkaran. Karena diameter lingkaran melewati titik pusat lingkaran maka diameter lingkaran sama dengan dua kali radius lingkaran tersebut.

Cara Menghitung Keliling Lingkaran
Untuk menghitung keliling suatu lingkaran maka harus diketahui dimensi radius atau diameter lingkaran tersebut.  Keliling suatu lingkaran adalah panjang busur lingkaran dari suatu titik mengitari lingkaran sampai ke titik semula. Panjang keliling lingkaran = 2 x Pi x radius. Pi adalah konstanta lingkaran yang merupakan perbandingan antara keliling lingkaran terhadap diameter lingkaran yang besarnya 22/7 atau 3,142857… (dalam perhitungan sederhana seringkali digunakan angka 3,14 saja). Karena diameter sebuah lingkaran sama dengan dua kali radius, maka keliling suatu lingkaran juga dapat dinyatakan dengan rumus keliling = Pi x diameter. Satuan keliling adalah satuan panjang misalnya centimeter, inch, meter, dsb.

Cara Menghitung Luas Lingkaran
Untuk menghitung luas suatu lingkaran maka harus diketahui radius atau diameter lingkaran tersebut.  Luas lingkaran = Pi x radius x radius. Karena diameter lingkaran sama dua kali radiusnya, maka luas lingkaran dapat dinyatakan dengan rumus luas = ¼ x Pi x diameter x diameter. Satuan luas adalah satuan panjang persegi seperti centimeter persegi, inch persegi, meter persegi, dsb.

Contoh Perhitungan Keliling dan Luas Lingkaran
1. Soal: Sebuah tutup kaleng berbentuk lingkaran memiliki diameter 15 cm, berapa jari-jari tutup kaleng tersebut. (Petunhjuk diameter = 2 x radius). Jawab:  jari-jari (radius) = (½) x diameter = (½) x 15 cm = 7,5 cm.
2. Soal: Berapa keliling lingkaran sebuah koin yang memiliki garis tengah 2,1 cm? (Petunjuk: keliling lingkaran = Pi x diameter). Jawab: Keliling lingkaran koin =  (22/7) x 2,1  = 6,6 cm.
3. Soal: Berapa luas permukaan sebuah meja yang berbentuk lingkaran yang memiliki jari-jari 70 cm? (Petunjuk: luas lingkaran = Pi x radius x radius). Jawab: Luas permukaan meja = (22/7) x 70 x 70 = 15400 centimeter persegi.
4. Soal: Hitunglah keliling dan luas permukaan selembar kertas yang berbentuk lingkaran dengan radius 3,5 cm? (Petunjuk: keliling lingkaran = 2 x Pi x radius, dan luas lingkaran = Pi x radius x radius). Jawab: Keliling permukaan kertas =  2 x (22/7) x 3,5 = 22 cm. Luas permukaan kertas = (22/7)  x 3,5 x 3,5 = 38,5 centimeter persegi.

Definisi sudut pusat, sudut keliling, busur dan juring lingkaran

Definisi sudut pusat:

Sudut pusat adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran.
Pada gambar lingkaran dengan pusat titik O, terdapat AOC yang dibatasi oleh dua jari-jari yaitu OA dan OC.
AOC disebut sudut pusat.
Definisi sudut keliling :

Sudut keliling adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua talibusur yang berpotongan di satu titik pada lingkaran dan titik sudutnya teletak pada keliling lingkaran.
Pada gambar lingkaran berpusat di titik O, terdapat dua tali busur AB dan BC yang berpotongan dan membentuk ABC.
ABC merupakan sudut keliling dan menghadap busur AC
Definisi busur lingkaran :

Busur lingkaran adalah garis lengkung bagian dari keliling lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Pada gambar ingkaran berpusat di titik O, terdapat titik A dan C di keliling lingkaran. Garis lengkung yang menghubungkan titik A dan C disebut busur lingkaran
Definisi juring lingkaran :

Juring lingkaran ( sektor ) merupakan daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran
Pada gambar daerah yang diarsir merupakan juring lingkaran.
Juring AOB dibatasi oleh dua jari-jari OA dan OB, serta busur AB
Pada sebuah lingkaran seperti tampak pada gambar, tedapat dua jenis busur dan dua jenis juring.
Busur AB yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran disebut  busur kecil dan juring yang

luasnya kurang dari setengah luas lingkaran disebut juring kecil.
Sebaliknya busur AB yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran disebut busur besar dan juring yang luasnya lebih dari setengah luas lingkaran  disebut juring besar

Hubungan sudut pusat dan sudut keliling

Pada gambar, AOB adalah sudut pusat dan ACB adalah sudut keliling. AOB dan ACB menghadap busur yang sama yaitu busur AB.
Bagaimanakah hubungan sudut AOB dan ACB ?
Untuk mengetahui hubungan AOB dan ACB, buat garis bantu CD yang melalui titik O.

Pada gambar terdapat dua segitiga sama kaki, yaitu
Δ AOC dan Δ BOC. Jika ACO = x^o dan BCO = y^o,
maka CAO = x^o dan CBO =  y^o .
DOA  = CAO + ACO  ( sudut luar Δ AOC )
           = x^o   + x^o 
           = 2x^o          
DOB  = CBO + BCO  ( sudut luar Δ BOC )
           =  y^o   + y^o 
           =  2 y^o      
            
AOB  = DOA + DOB
           = 2x^o   + y^o 
 AOB = 2  (x^o   +y^o  ), maka :

“Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, atau besar sudut keliling adalah setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama”

Contoh :
Pada gambar, jika AOB = 110^o, maka berapakah besar ACB ?

Jawab :

Sifat sudut keliling

    

Besar sudut-sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90^o 

Contoh :

Pada gambar jika BCA =  28^o, berapakah besar CBA ?
Jawab :

 

B. Sudut – Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Pada gambar, jika ADB = 35^o dan
CBD = 40^o , maka berapakah besar ACB dan CAD ?
Contoh :

Jawab :
   ACB = ADB = 35^o  
   CAD = CBD = 40^o  

 

         

Panjang Busur

Menghitung Panjang Busur Lingkaran

Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling lingkarannya. 

Perhatikan  gambar.  Jika sudut  pusat  busur  AC  adalah  AOC, dan sudut pusat keliling lingkaran adalah 360^o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu :

Contoh:

Luas Juring

Menghitung Luas Juring Lingkaran

Juring adalah daerah yang merupakan bagian dari daerah (luas) lingkaran, maka untuk menentukan luas juring lingkaran digunakan perbandingan dengan luas lingkarannya.
Perhatikan  gambar.  Jika sudut  pusat  juring AOB  adalah
AOB, dan sudut pusat daerah lingkaran adalah 360^o, maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu

Hubungan sudut pusat, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran

Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring

Pada sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat dua juring dengan sudut pusat dan panjang busur yang berbeda, yaitu busur AB dan juring AOB dengan sudut pusat AOB = xo, dan busur CD dan juring COD dengan sudut pusat COD = yo.
Perbandingan panjang busur AB dan CD adalah :

Perbandingan 1 = perbandingan 2

Contoh :

Pada gambar jika AOB = 15^o,  COD = 45^o  dan panjang busur AB = 6 cm, maka berapakah panjang busur CD ?